STATISTIKA

Pelajaran Statistika di tingkat SMA meliputi mean, modus, median, jangkauan, simpangan, dan ragam 

1. Rumus Rataan Hitung (Mean) 
Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian
xi = data ke-i

c) Rumus Rataan Hitung Gabungan

2. Rumus Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan mo.
b. Data yang telah dikelompokkan

Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan : Mo = Modus
L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas
b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

3. Rumus Median (Nilai Tengah)

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

b) Data yang Dikelompokkan

Dengan : Qj = Kuartil ke-j
j = 1, 2, 3
i = Interval kelas
Lj = Tepi bawah kelas Qj
fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj
f = Frekuensi kelas Qj
n = Banyak data

4. Rumus Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)

6. Rumus Simpangan baku ( S ) 

7. Rumus Simpangan rata – rata (SR) 

8. Rumus Ragam (R)

Contoh soal statistika

Tabel 1.1 dibawah ini:

Jawab :

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas

Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.

Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim  F(x) = A

                                                              x→a

Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….

nSubtitusi langsung.

nFaktorisasi.

nMengalikan dengan bilangan sekawan.

nMembagi dengan variabel pangkat tertinggi.  

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI

Berapa teorema limit:

Bila  Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B

         x → a                  x →a

Maka

 1. Lim   [k.f(x)]    = k Lim f(x)

     x→a                       x→a

                              = k. A

 2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)

     x→a                      x→a          x→a

                               = A + B

3.  Lim [f(x) x g(x)]

    x→a

      = Lim f(x) x Lim g(x)

         x→a          x→a

     

      = A x B

                                   

4.  Lim        f(x)        Lim f(x)

     x→a      g(x)    = x→a      . =  A

                                 Lim g(x)      B   

                                 x→a

                      n                      n         n

5.  Lim  f(x).     =   Lim f(x)     =  A

     x→a                   x→a

                n                n                       n

6.  Lim     √ f(x)   =   √ Lim f(x)    =  √ A

     x→a                         x→a

Soal latihan:

1. Nilai dari  Lim  3x  adalah….

                     x→2

            a. 1

            b. 2

            c. 3

            d. 4

            e. 6

Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6

                        x→2

Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6

                        x→2           x→2

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….

                    x→2

            a. -2

            b.  2

            c.  4

            d.  6

            e.  8

Pembahasan:

 Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8

 x→2                                           

3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….

                                      x →  3

            a. -6

            b.  8

            c. 12

            d. 14

            e. 16

Pembahasan 1:  Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12

                          x→3                x→3

Pembahasan 2:   Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x

                           x→3               x→3       x→3

                                                = 6(3) – 2(3)

                                                = 18 – 6 = 12

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU

Limit fungsi bentuk   0

                                  0

Jika f(x) = (x-a).h(x)

      g(x) = (x-a).k(x)

Maka:  Lim   f(x)    =  Lim   (x-a).h(x)   =   Lim   h(x)   =  h(a)

            x→a  g(x)        x→a  (x-a).k(x)        x→a  k(x)       k(a)

Limit Fungsi Bentuk   ~

                                    ~

Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut:  Lim    axⁿ  +  bx^n-1 +  cx^n-2 + …+ d   =  R

                           x→~    px^m  +  qx^m-1  +  rx^m-2   + … +  s

Maka:  

1. R= 0  jika n<m

2. R= a  jika n=m

          p

3. R= ~ jika n>m

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a.  Lim    √ ax +b - √  px +q    =  R

    x→~

 Maka:   1. R=  ~  jika  a>p

              2. R=  0   jika  a=p

              3. R= -~  jika  a<p  

 

b.  .  Lim    √ ax² + bx + c  -  √  px ² + qx + r   =  R

        x→~

        Maka:      1. R= ~ jika a>p

                        2. R =  b-q   jika a=p

                                   2√a

                        3. R= -~ jika a<p

Contoh Soal

1. Nilai dari   Lim     x⁴ – 3x² + 4x   adalah….

                       x→0   2x³ – x² - 2x

             

Pembahasan:  Lim    x⁴ – 3x² + 4x   =  0⁴ – 3.0² + 4.0   =   0

                       x→0   2x³ – x² - 2x        20³ – 0² – 2.0         0

Jika 0 didistribusikan menghasilkan (bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan cara faktorisasi .

Maka:    Lim     x⁴ – 3x² + 4x   =    Lim    x   x³ – 3x + 4      

              x→0   2x³ – x² - 2x           x→0  x    2x² – x – 2

                                                 =   Lim       x³ – 3x + 4      

                                                      x→0     2x² – x – 2

                                                 =   0 – 0 + 4

                                                      0 – 0 – 2

                                                 =   -2

2. Nilai dari  Lim      x² – 4      adalah….

                     x→2  x² + x - 6 

Pembahasan:  Lim      x² – 4     =    Lim    (x – 2) ( x + 2 )  

                       x→2  x² + x – 6        x→2  (x – 2) ( x + 3)

                                                  =    Lim    (x + 2)

                                                         x→2   (x + 3 )

                                                  =   2 + 2

                                                       2 + 3

                                                  =   4

                                                       5

3. Nilai dari  Lim   4x² + 3x - 6       adalah ….

                     x→~  2x² – 8x -1

Pembahasan

Perhatikan bahwa pangkat diatas sama dengan pangkat bawah sehingga p = q (p dibagi q)

Lim  4x² + 3x - 6    =    4   =  2

x→~  2x² – 8x -1          2

4. Nilai dari  Lim  √ 4x2 – 2x + 6  -  √ 4x2 + 2x -1        adalah….

                     x→~

                       

Pembahasan:

                       R  =  b – q   =  -2 – 2  =  -4  =  -4  =  -1

                               2√a            2√4         2.2        4  

                       

5. Nilai dari Lim   (8x – 2)²    adalah….

                     x→~  (4x + 1)²

                       

Pembahasan:  Lim   (8x – 2)² .=  Lim    64x² – 32x  + 4

                       x→~  (4x + 1)²      x→~    16x² + 8x  + 1

                                                 =  64  =   4

                                                     16

6. Nilai dari  Lim    x² – x    adalah….

                     x→0  x² + 2x

           

Pembahasan: Lim    x² – x    =  Lim   x ( x – 1 )

                     x→0  x² + 2x        x→0  x (x + 2)

                                               =  Lim    x – 1

                                                   x→0  x + 2

                                               =   0 - 1

                                                    0 + 2

                                               =  -1

                                                    2

7. Nilai dari  Lim   6x³ -  4x² + 2x – 1    adalah….

                       x→~  3x⁴ – 2x³ + 5x + 2

Pembahasan:

Perhatikan Pangkat tertinggi diatas 3 Pangkat tertinggi dibawah 4

Jadi   n < m sehingga nilai  R = 0

8. Nilai dari   Lim     2x² + 5x – 12   adalah….

                        x→-4  3x² – 13x - 4

Pembahasan: 

                        Lim     2x² + 5x – 12  

                        x→-4  3x² – 13x - 4

                   =   Lim     (2x – 3) (x – 4)  

                        x→-4  (3x + 1) (x – 4)

                   =   Lim     (2x – 3)    

                        x→-4  (3x + 1)

                   =   2(-4) – 3   =  11

                        3(-4 ) + 1       13  

9. Nilai dari  Lim 2x² + 4x – 10   adalah….

                       x→~   4x² + 7

Pembahasan:

Pangkat diatas = Pangkat dibawah

Maka   2  =   1

4          2

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri

1.  Lim      x    =  1                  diperoleh   lim   sin x  =  1

     x→0  sin x                                           x→0  x

2.  Lim    tan x  =  1                diperoleh   lim    x       =  1

     x→0     x                                            x→0  tan x

Akibatnya :

 

1. lim     sin ax   =  1

    x→0     ax

2. lim       ax       =  1

    x→0   sin ax

3. lim     tan ax   =  1

    x→0     ax

4. lim         ax   =  1

    x→0    tan ax

 

Contoh : 1.  lim     sin 3x   = .  lim   3  sin 3x   =  3   lim    sin 3x .   =  3 . 1  =  3

                   x→0      2x            x→0 2     3x          2   x→0   3x             2           2

                 2.    lim         4x     =  . lim     4    5x       =  4  lim       5x        =  4

                       x→0    tan 5x        x→0   5  tan 5x       5   x→0  tan x          5

 

  3.  lim     sin 3x   =  lim    3  sin 3x  .    7x     =  3  lim     sin 3x  lim      7x

                      x→0  tan 7x       x→0  7    3x       tan 7x       7  x→0    3x      x→0  tan 7x

                                                                                        =  3  .  1  .  1

                                                                                            7

                                                                                        =  3

                                                                                            7

           4.  lim   1 – cos 2x   =  lim    1 – ( 1 – 2 sin 2 x)

               x→0       3x²             x→0           3x²

                                            = lim    2 sin ²x

                                               x→0     3x²

                                            = 2    lim   sin x    ²

                                               3    x→0  x²         

TURUNAN TRIGONOMETRI

Perhatikan contoh-contoh berikut:

Soal Nomor 1

Turunkan fungsi berikut:

y = 5 sin x

Pembahasan

y = 5 sin x
y' = 5 cos x

Soal Nomor 2
Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ' ( ^π/2).

Pembahasan

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini:

f(x) = 3 cos x
f '(x) = 3 (−sin x)
f '(x) = −3 sin x

Untuk x = ^π/2 diperoleh nilai f '(x)
f '(^π/2) = −3 sin ( ^π/2) = −3 (1) = −3

Soal Nomor 3
Tentukan turunan pertama dari y = −4 sin x

Pembahasan
y = −4 sin x
y' = −4 cos x

Soal Nomor 4
Diberikan y = −2 cos x. Tentukan y'

Pembahasan
y = −2 cos x
y' = −2 (−sin x)
y' = 2 sin x

Soal Nomor 5
Tentukan y' dari y = 4 sin x + 5 cos x

Pembahasan
y = 4 sin x + 5 cos x
y' = 4 (cos x) + 5 (−sin x)
y ' = 4 cos x − 5 sin x

Soal Nomor 6
Tentukan turunan dari
y = 5 cos x − 3 sin x

Pembahasan
y = 5 cos x − 3 sin x
y' = 5 (−sin x) − 3 (cos x)
y' = −5 sin x − cos x

Soal Nomor 7
Tentukan turunan dari:
y = sin (2x + 5)

Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = sin (2x + 5)
y ' = cos (2x + 5) ⋅ 2
                            ↑
Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y' = 2 cos (2x + 5)

Soal Nomor 8
Tentukan turunan dari y = cos (3x −1)

Pembahasan
Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk
y = cos (3x − 1)
y ' = − sin (3x −1) ⋅ 3
                             ↑
Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x − 1

Hasil akhirnya adalah
y' = − 3 sin (3x − 1)

Soal Nomor 9
Tentukan turunan dari:
y = sin² (2x −1)

Pembahasan
Turunan berantai:
y = sin² (2x −1)
y' = 2 sin ²⁻¹ (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 2 sin (2x −1) ⋅ cos (2x −1) ⋅ 2
y' = 4 sin (2x −1) cos (2x −1)

Soal Nomor 10
Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x)
Turunan pertama fungsi f adalah f ' maka f '(x) =....
A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
C. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)
D. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x)
E. – 3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)
(Soal Ebtanas 2000)

Pembahasan
f(x) = sin³ (3 – 2x)

Turunkan sin³ nya,
Turunkan sin (3 – 2x) nya,
Turunkan (3 – 2x) nya,
Hasilnya dikalikan semua seperti ini:
f(x) = sin³ (3 – 2x)

f ' (x) = 3 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x) ⋅ − 2
f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)

Sampai sini sudah selesai, namun di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2θ = 2 sin θ cos θ
f ' (x) = −6 sin ² (3 − 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ sin (3 – 2x) ⋅ cos (3 − 2x)
f ' (x) = −3 ⋅ 2 sin (3 − 2x) ⋅ cos (3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
                  |_____________________|
                                 ↓
                         sin 2 (3 − 2x)

f ' (x) = −3 sin 2(3 – 2x) ⋅ sin (3 − 2x)
f ' (x) = −3 sin (6 – 4x) sin (3 − 2x)

atau:
f ' (x) = −3 sin (3 − 2x) sin (6 – 4x)

APLIKASI TURUNAN

Turunan fungsi biasa digunakan saat menentukan gradien garis singgung suatu kurva, menentukan dimana interval naik turun fungsi, menentukan jenis nilai stasioner dan beberapa aplikasi pada persamaan gerak atau masalah terkait maksimum dan minimum.

Berikut contoh-contoh soal aplikasi turunan:

Soal Nomor 1
Diberikan suatu fungsi dengan persamaan y = 2x − √x
Tentukan persamaan garis singgung kurva melalui titik (9, 16)

Pembahasan
Penggunaan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung.
Turunkan fungsi untuk mendapatkan gradien dan masukkan x untuk mendapat nilainya.



Persamaan garis yang melalui titik (9 , 16) dengan gradien ¹¹/₆ adalah



Soal Nomor 2
Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t² − 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik

Pembahasan
Persamaan kecepatan benda diperoleh dengan menurunkan persamaan posisi benda.
y = 5t² − 4t + 8
ν = y ' = 10t − 4

Untuk t = 2 detik dengan demikian kecepatan benda adalah
ν = 10(2) − 4 = 20 − 4 = 16 m/detik

Soal Nomor 3
Persamaan garis yang menyinggung kurva y = x³ + 2x² − 5x di titik (1, −2) adalah....
A. y = 2x
B. y = 2x − 3
C. y = 2x − 4
D. y = 2x + 3
E. y = 2x + 4
(Dari umptn 1996)

Pembahasan
Tentukan dulu gradien garis singgung
y = x³ + 2x² − 5x
m = y ' = 3x² + 4x − 5

Nilai m diperoleh dengan memasukkan x = 1
m = 3(1)² + 4(1) − 5 = 2

Persamaan garis dengan gradiennya 2 dan melalui titik (1, −2) adalah
y − y₁ = m(x − x₁)
y − (−2) = 2(x − 1)
y + 2 = 2x − 2
y = 2x − 4

Soal Nomor 4
Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x) = 3x(x² − 12)

Pembahasan
Nilai maksimum diperoleh saat f '(x) = 0
Urai kemudian turunkan
f(x) = 3x(x² − 12)
f(x) = 3x³ − 36x
f '(x) = 9x² − 36 = 0
9x² = 36
x² = 4
x = √4 = ±2

Untuk x = +2
f(x) = 3x³ − 36x = 3(2)³ − 36(2) = 24 − 72 = − 48

Untuk x = −2
f(x) = 3x³ − 36x = 3(−2)³ − 36(−2) = −24 + 72 = 48

Dengan demikian nilai maksimumnya adalah 48

Soal Nomor 5
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari

dengan biaya proyek perhari

ratus ribu rupiah.

Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu....
A. 40 hari
B. 60 hari
C. 90 hari
D. 120 hari
E. 150 hari
(umptn 2001 - aplikasi turunan)

Pembahasan
Tentukan dulu fungsi biaya proyek dalam x hari, kalikan biaya pada soal dengan x



Biaya minimum tercapai saat turunannya = 0,

Soal Nomor 6
Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x − x²) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah...
A. 120
B. 130
C. 140
D. 150
E. 160
(un 2005)

Pembahasan
Keuntungan satu barang adalah (225x − x²), sehingga jika diproduksi x buah barang maka persamaan keuntungannya adalah keuntungan satu barang dikalikan dengan x
U (x) = x (225x − x²)
U (x) = 225 x² − x³

Nilai maksimum U (x) diperoleh saat turunannya sama dengan nol
U ' (x) = 0
450 x − 3x² = 0

Faktorkan untuk memperoleh x
3x(150 − x) = 0
x = 0, x = 150

Sehingga banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah.

Jadi berapa keuntungan maksimumnya? Masukkan nilai x = 150 ke fungsi U (x) untuk memperoleh besarnya keuntungan maksimum.

Soal Nomor 7
Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari p = m² + n² adalah....
A. 320
B. 295
C. 280
D. 260
E. 200

Pembahasan
Nilai minimum tercapai saat p' = 0


Soal Nomor 8
Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi 18 cm akan dibuat kotak tanpa tutup, dengan cara menggunting empat buah persegi di setiap pojok karton, seperti gambar berikut.


Volume kotak terbesar adalah...
A. 256 cm³
B. 392 cm³
C. 432 cm³
D. 512 cm³
E. 588 cm³
(un matematika 2013 - penerapan turunan)

Pembahasan
Kotak yang terbentuk memiliki sisi alas sepanjang (18 − 2x) dan tingginya sebesar x seperti gambar berikut:



Syarat yang diperlukan untuk nilai x adalah x > 0
dan
18 − 2x > 0
18 > 2x
x < 9

Jadi nilai x nantinya diantara 0 dan 9

Volume akan maksimum saat turunan pertamanya sama dengan nol.


Yang memenuhi syarat adalah untuk x = 3